UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
ANALISIS DE REGRESION SIMPLE GEOMETRICA
Ing. Agr. Luis Manfredo Reyes Chávez
Profesor Titular Departamento de Estadística
1. INTRODUCCION:
Este modelo de regresión es una alternativa cuando el modelo lineal no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio tiene un comportamiento que puede considerarse exponencial. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:
Este modelo también es conocido como exponencial
2. Ecuación característica
La función que define el modelo es la siguiente:
Yi=A*Bxi E
En la cual:
Yi : Variable dependiente, iésima observación
A, B: Parámetros de la ecuación, que generalmente son
desconocidos
E: Error asociado al modelo
Xi : Valor de la í-esima observación de la variable independiente
Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:
yi=a*bxi
La ecuación se transforma aplicando logaritmos de ambos lados, con lo cual se convierte a una forma lineal:
Ln yi= Ln a + xi*Ln b
3. Tabla de datos
Para el ajuste de un conjunto de datos al modelo geométrico de regresión, se construye la siguiente tabla de datos:
X | Y | Ln y | X2 | (ln y)2 | X*ln y |
.. | .. | .. | .. | .. | .. |
Σx | Σln y | Σx2 | Σ(lny)2 | Σx*lny |
Debido a las propiedades de los logaritmos, ningún valor de y puede ser negativo. En tal caso, lo que se hace es definir un valor de y muy pequeño (Ej: 0.00000001)
Se puede trabajar con logaritmos naturales o logaritmos base 10.
4. Estimadores del modelo
los estimadores para el ajuste del modelo se calculan de la siguiente manera:
Será necesario utilizar antilogaritmos para obtener los valores finales de a y b
5. Análisis de varianza para la regresión
Con el objeto de determinar si el modelo explica o no el fenómeno en estudio, se realiza el análisis de varianza, que se calcula de la siguiente manera
Fuente de Variación | Grados de libertad | Suma de cuadrados | Cuadrado medio | F calculada | F tabulada |
Regresión | 1 | Ln b* (Σxlny-Σx*Σlny/n) | S.C. Reg/1 | C.M.Reg/C.M.Error | |
Error | n-2 | S.C. Total- S.C. Regresión | S.C. Error/(n-2) | ||
Total | n-1 | Σ(lny)2-(Σlny)2 /n | n-1 |
Ho: El modelo no explica el fenómeno en estudio
Ha: El modelo sí explica el fenómeno en estudio
- Para buscar en la tabla la F tabulada, se usan el el numerador los grados de libertad de regresión y en el denominador, de acuerdo al nivel de significancia escogido (los más usuales son al 5% y al 1%)
- Si el valor de F calculada es mayor que el de F tabulada, se rechaza Ho, en caso contrario se acepta
6. Grado de ajuste del modelo
Para determinar el grado de ajuste del modelo, se calcula el coeficiente de determinación, de la siguiente manera:
7. Pruebas de Hipótesis para el modelo
7.1 Para el coeficiente b
Para probar la hipótesis de que el logaritmo del coeficiente b es igual a un valor b´, se procede así:
i) Se plantea la hipótesis Ho:Ln b=Ln b´ y la alternativa Ha: Ln b≠ Ln b´
ii) Se calcula el estadístico :
Sb es conocido como el error standard de b y se calcula de la siguiente manera:
El cuadrado medio del error se obtiene del anàlisis de varianza.
iii) Se busca en la tabla de t de student el valor tabulado para los siguientes datos:
n-2 grados de libertad y un nivel α/2
iv) Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso
contrario, se acepta .
7.2 Para el coeficiente a
Se puede probar la hipótesis de que el coeficiente a es igual a un valor a´, para lo
cual se sigue el siguiente procedimiento:
i) Se define la hipótesis: Ho: a=a´ y la alternativa Ha: a≠a´
ii) Se calcula el error standard para a con la siguiente fórmula:
El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
iii) Se calcula el estadístico de prueba:
iv) Se obtiene en la tabla de t de student el estadístico comparador, con los siguientes datos: n-2 grados de libertad y nivel α/2
v) Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso contrario, la hipótesis se acepta
8. Intervalos de confianza
8.1 Para el coeficiente b
El intervalo de confianza para el coeficiente b se calcula así:
El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
nivel α/2
8.2 Para el coeficiente a
El intervalo de confianza para el coeficiente a se calcula así:
El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
nivel α/2
8.3 para la media de y
Un intervalo de confianza para la respuesta media de y, dado x0 sería:
El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
nivel α/2
El valor de xm que aparece en la fórmula es el promedio de valores de x
8.4 para la estimación de y
El intervalo de confianza para la estimación de y, dado un valor de x0 se obtiene de la siguiente manera:
El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
nivel α/2
El valor de xm que aparece en la fórmula es el promedio de valores de x
9. Càlculo de estimadores, coeficiente de determinaciòn y anàlisis de varianza mediante el uso de matrices
Un mètodo alternativo para realizar los càlculos, es el uso de matrices. En este caso, el procedimiento es el siguiente:
i) formar la matriz x: (matriz de variable independiente), agregando la primera columna formada por unos:
1 | x1 |
1 | x2 |
... | ..... |
1 | xn |
ii) Formar el vector de logaritmos de y
Ln y1 |
Ln y2 |
..... |
Ln yn |
iii) Formar la matriz x transpuesta ( x´)
1 | 1 | ... | 1 |
x1 | x2 | ... | xn |
iv) Calcular el producto matricial x´x
v) Calcular la inversa del producto x´x [ o sea (x´x)-1]
vi) Calcular el producto x´y
vii) Calcular el producto (x´x)-1*(x´y)=b
El resultado de esta operaciòn es el vector de coeficientes de regresiòn en forma logarìtmica, de modo que para formar la ecuaciòn original se obtienen los antilogaritmos.
viii) Para el càlculo del anàlisis de varianza, se tienen las siguientes operaciones
matriciales:
Fuente de Variación | Grados de libertad | Suma de cuadrados | Cuadrado medio | F calculada | F tabulada |
Regresión | 1 | b´( x´ )(y) – nym2 | S.C. Reg/1 | C.M.Reg/C.M.Error | * |
Error | n-2 | y´y-b( x´ )(y) | S.C. Error/(n-2) | ||
Total | n-1 | y´y-nym2 | n-1 |
ym es el promedio de los logaritmos de y
ix) Finalmente, el coeficiente de determinaciòn por matrices se obtiene de la
siguiente manera:
r2= {b´(x´)(y)-nym2}/(y´y- nym2)
10. Por fin un ejemplo!
Según los registros municipales, la población de una comunidad ha evolucionado de la siguiente manera:
AÑO | HABITANTES |
1900 | 375 |
1920 | 735 |
1940 | 1220 |
1960 | 1845 |
1980 | 2333 |
2000 | 3800 |
En base a los datos anteriores:
a) Construya un diagrama de dispersión
b) Efectúe la estimaciòn del modelo geométrico
c) Determine el grado de ajuste e interprételo
d) Elabore el análisis de varianza y discútalo
e) Qué población habrá en el año 2010?
f) Pruebe la hipòtesis que b=1 con un 99% de confianza
g) Calcule intervalo de confianza al 95% para a y b
h) Efectùe la estimaciòn del modelo, el andeva y obtenga el coeficiente de determinaciòn por medio de matrices.
a) Diagrama de Dispersión
b) Estimadores del modelo
i) Tabla de Datos:
x | y | ln y | x2 | (ln y)2 | x*lny |
1900 | 375 | 5.9269 | 3,610,000 | 35.1285 | 11,261.1594 |
1920 | 735 | 6.5999 | 3,686,400 | 43.5583 | 12,671.7514 |
1940 | 1220 | 7.1066 | 3,763,600 | 50.5039 | 13,786.8159 |
1960 | 1845 | 7.5202 | 3,841,600 | 56.5539 | 14,739.6597 |
1980 | 2333 | 7.7549 | 3,920,400 | 60.1386 | 15,354.7223 |
2000 | 3800 | 8.2428 | 4,000,000 | 67.9430 | 16,485.5127 |
Σ=11700 | Σ=43.1513 | Σ=22,822,000 | Σ=313.8262 | Σ=84,299.6215 |
ii) Estimadores del modelo
Ecuación Final: yi=1.02232*(2.6416 x 10-16)xi
c) Grado de ajuste del modelo
El coeficiente de determinación se calcula así:
Se puede concluir que el grado de ajuste del modelo es alto, por lo que el modelo es confiable para hacer predicciones.
d) Análisis de varianza del modelo
iii) Suma de cuadrados del error : 3.4870-3.4137= 0.0733
iv) Grados de libertad de regresion=1
v) Grados de libertad totales= 6-1=5
vi) Grados de libertad del error=6-2=4
vii) Cuadrado medio de regresión= 3.4137/1=3.4137
viii) Cuadrado medio del error= 0.0733/4=0.01832
ix) F Calculada=3.4137/0.01832=186.33
x) F Tabulada (1,4,0.01)=21.197
xi) Tabla de Andeva:
Fuente de Variación | Grados de libertad | Suma de cuadrados | Cuadrado medio | F calculada | F tabulada |
Regresión | 1 | 3.4137 | 3.4137 | 186.33 | 21.19* |
Error | 4 | 0.0733 | 0.01832 | ||
Total | 5 | 3.4870 |
Debido a que F calculada es mayor que F tabulada, se rechaza la Ho y se acepta la Ha, con lo cual se concluye que el modelo sì explica el fenòmeno en estudio y que los resultados obtenidos no se deben a la casualidad.
e) Què poblaciòn habrà en el año 2010?
Para esto, simplemente se utiliza la ecuaciòn anteriormente encontrada por estimaciòn, sustituyendo el valor de x por 2010
y= 1.02232*(2.6416 x 10-16)2010=4998.26
En algunas calculadoras e incluso computadoras, èste càlculo puede no ser posible de realizar, en cuyo caso se puede aplicar la operaciòn equivalente por medio de los logaritmos de los estimadores:
Ln y= -35.8694+0.02208*2010=8.51684
finalmente y= e8.51684= 4998.26
f) Pruebe la hipòtesis de que b=1 con un 99% de confianza
Inicialmente se plantea Ho: b=1 y su alterna Ha: b≠1
A continuaciòn se obtiene el error standard de b:
El valor de t de student de calcula de la siguiente manera: (el logaritmo de 1 es cero)
El valor de t se obtiene en la tabla de t de student, con 6-2=4 grados de libertad y (1-.99)/2=0.005 de α, siendo el valor igual a 4.604
Finalmente, dado que t calculada es mayor que la tabulada, se concluye al 99% que el coeficiente b no es igual a 1.
g) Calcule intervalos de confianza al 95% para a y b
El valor de t de student al 95% con 4 grados de libertad es= 2.776
Intervalo de confianza para el logaritmo de b:
El intervalo final será entonces el siguiente: 0.017593<Ln B<0.026573
Intervalo de confianza para a:
El intervalo final para el logaritmo de a sería: -36.0682< Ln A <-35.6716
i) Ajuste del modelo y análisis de varianza mediante matrices:
Matriz x: Matriz x transpuesta ( x´ )
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1900 | 1920 | 1940 | 1960 | 1980 | 2000 |
Vector y: 5.9269
6.5999
7.1066
7.5202
7.7549
7.7549
8.2428
Producto x´x:
6 | 11700 |
11700 | 22,822,000 |
Matriz inversa de x´x:
543.3809 | -0.2785 |
-0.2785 | 0.000142 |
Producto x ´ y
43.1513 |
84,299.616 |
Producto Final b=(x´x)-1* (x ´ y)
-35.8699 |
0.022083 |
Análisis de varianza
Suma de cuadrados de regresión= b´x´y- nym2=3.4137
Suma de cuadrados total=y´y-nym2=3.487
Suma de cuadrados del error =: 3.4870-3.4137= 0.0733
Grados de libertad de regresion=1
Grados de libertad totales= 6-1=5
Grados de libertad del error=6-2=4
Cuadrado medio de regresión= 3.4137/1=3.4137
Cuadrado medio del error= 0.0733/4=0.01832
F Calculada=3.4137/0.01832=186.33
F Tabulada (1,4,0.01)=21.197
Análisis de Varianza Final:
Fuente de Variación | Grados de libertad | Suma de cuadrados | Cuadrado medio | F calculada | F tabulada |
Regresión | 1 | 3.4137 | 3.4137 | 186.33 | 21.19* |
Error | 4 | 0.0733 | 0.01832 | ||
Total | 5 | 3.4870 |
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